In English

ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ В 21 ВЕКЕ




События и построение ЛВ-моделей риска в экономике

Поясним определение события-высказывания, как одного из основных в теории управления безопасностью социально-экономических систем, и приведем примеры использования событий-высказываний при построении ЛВ моделей риска в экономике.

1. События в ЛВ-моделях риска в экономике

В ЛВ-моделях риска в экономике используются следующие события:

        Xst              X                      Xmax
-----------|----------------*----------------------|-----  ->
     0                P                      1
Рис. 1. Схема определения невалидности параметра

Невалидность (вероятность) параметра равна

P = (X - Xst) / (Xmax - Xst), (1)

где:

Xst - предельно допустимое значение параметра по стандарту,
X - фактическое значение параметра,
Xmax - максимально возможное значение параметра.

Значение вероятности (невалидности) параметра находится в интервале {0, 1}.

Все рассмотренные события-высказывания, отличающиеся по смыслу, используются при построении ЛВ-моделей (риска, безопасности и качества) систем как обычные события.

2. Построение ЛВ-моделей риска в экономике

Последовательность построения ЛВ-модели риска следующая: разработка сценария риска, запись Л-модели по сценарию, ортогонализация Л-модели, переход к В-модели риска. Требование к моделям в науке определил швейцарский математик Калман. "Для некоторых математиков может оказаться сюрпризом, что проблема "данные модель, объясняющая данные" должна рассматриваться как основная для любой отрасли науки".

Это требование к математической модели обеспечивает возможность детального и прозрачного анализа модели риска и возможность управления риском. Этому требованию не отвечают ни скоринговые методики, ни нейронные сети. Это требование обеспечивается объективное рассмотрение данных, а не игру с моделями.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма. В экономике множество возможных состояний системы всегда можно записать в виде совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ) с учетом двух состояний каждого события-высказывания (валидное событие Zj , невалидное событие Żj). Число разных состояний системы может быть астрономически большим. Например, если система описывается 20 событиями-высказываниями, то теоретически система может иметь N = 220 = 1048578 различных состояний.

Ортогональность состояний системы. Обозначим события-высказывания логическими переменными Z1, Z2, ..., Zm . Логическая модель риска N-состояний системы:

Y = Y1 ∨ Y2 ∨ ... ∨ Yk ∨ ... ∨ Yn , (2)

где состояние определяется Л-функцией со всеми Л-переменными:

Yk = Z1 ∨ Z2 ∨ ... ∨ Zj ∨ ... ∨ Zm , k = 1, 2, ..., N. (3)

Л-функции Yk = Z1 ∨ Z2 ∨ ... ∨ Zj ∨ ... ∨ Zm, Yk+1 = Z1 ∨ Z2 ∨ ... ∨ Żj ∨ ... ∨ Zm ортогональны, ибо Zj ∧ Żj = 0. Свойство ортогональности слагаемых Л-функции риска состояний системы позволяет перейти от Л-функций к алгебраическим вероятностным моделям риска, анализировать риск состояния по вкладу событий-высказываний и преодолеть вычислительную сложность алгоритма.

Кратчайшие пути успешного функционирования. Использование ЛВ-модели риска экономической системы, построенной по СДНФ, не рационально при большом числе инициирующих событий из-за громадной сложности вычислений. Поэтому ЛВ-модели риска часто строятся на кратчайших путях успешного функционирования (КПУФ) системы (рис.2), то есть вводят структурные связи инициирующих событий, ограничивающих число рассматриваемых состояний системы. ЛВ-модель риска неуспеха состояния системы строится по сценарию риска или граф-модели, которая связывает инициирующие события (и логические переменные Z1, ..., Zm).

Рис. 2. Структурная модель "мостика"

Л-функцию риска записывают в виде КПУФ. Для ортогонализации Л-функции используют специальную программу. Например, схему типа "мостик" (рис. 2) записывают в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) как Л-сумму КПУФ:

Y = Z1 Z3 ∨ Z2 Z4 ∨ Z1 Z4 Z5 ∨ Z2 Z3 Z4. (4)

После ортогонализации (4) получим В-модель риска:

P = P2P4 + P1P3 + Q1P2P3Q4P5 + P1Q2Q3P4P5 + P1P2P3P4. (5)

Значение вероятности (невалидности) всегда находится в интервале {0, 1}.

Минимальные сечения. В принципе, все равно, записывать ли Л-функцию для успеха или неуспеха, так как вероятность неуспеха q = 1 - p, где p - вероятность успеха. Для анализ риска неуспеха записывают Л-функцию неуспеха системы в виде минимальных сечений неуспеха:

Ῡ = Ż1Ż2 ∨ Ż3Ż4 ∨ Ż1Ż5Ż3 ∨ Ż2Ż5Ż4. (6)

Далее нужно выполнить ортогонализацию этой функции и записать В-полином типа (5).

Ассоциативные ЛВ-модели. Сценарий риска неуспеха состояния системы может быть ассоциативным. Например, неуспех вызывает какое-либо одно, какие-либо два или три инициирующих события из Z1, Z2, ..., Zn . Л-модель риска неуспеха является подмножеством СДНФ. Здесь также необходима ортогонализация Л-функции, чтобы получить В-функцию риска.

Например, Л-функция риска неуспеха ассоциативной модели:

Y = Z1 ∨ Z2 ∨ ... ∨ Zj ∨ ... ∨ Yn , (7)

где: Z1, ..., Zn - логические переменные для параметров состояния.

Логическая ортогональная функция риска неуспеха ассоциативной модели риска:

Y = Z1 ∨ Z2Ż1 ∨ Z3Ż2Ż1 ∨ ... . (8)

Исходя из (8), В-функция риска неуспеха модели:

P(Y) = P1 + P2(1 - P1) + P3(1 - P2)(1 - P1) + ... . (9)

где Pj - вероятность, c которой событие Zj вызывает неуспех Y.

Табличное задание ЛВ-моделей риска. Построение ЛВ-модели риска в табличном виде изложим на примере "мостика". Имеется четыре пути успешного функционирования: S1, S2, S3, S4. Представим связи событий S1, S2, S3, S4 и инициирующих событий Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 в виде таблицы связей (табл.1): 1 - наличие, 0 - отсутствие связи, Выпишем Л-функции для событий S1, S2, S3, S4:



(10)

Таблица 1. Табличное задание логической модели

Состояние

Инициирующие события

Z1
Z2
Z3
Z4
Z5

S1

1
0
1
0
0

S2

0
1
0
1
0

S3

1
0
0
1
1

S4

0
1
1
0
1

В результате получают ту же самую Л-функцию КПУФ (11). Некоторые Л-переменные входят повторно (по несколько раз) в производные Л-события. Например, Z1 входит в S1 и S3, а Z5 входит в S3 и S4 и т. д. Это приводит к тому, что Л-функция для итогового события Y является Л-функцией с повторными элементами. Чтобы перейти от Л-функции риска к В-функции риска, необходимо преобразовать ее к логической бесповторной ортогональной форме.

Схема функциональной целостности. Модель успешного функционирования системы представляют также в виде схемы функциональной целостности (рис. 3).

Рис. 3. Схема функциональной целостности "мостика": ребро со стрелкой - логическая связь ИЛИ; ребро с точкой - связь И

Дизъюнктивная нормальная форма Л-функции успешного функционирования мостика записывается следующим образом:

Y = S1 ∨ S2 ∨ S3 ∨ S4 . (11)

Построение сложных ЛВ-моделей риска. Сложной будем называть ЛВ-модель с повторными событиями. Сложные системы включают в себя несколько подсистем, которые могут иметь общие или повторных событий. В сложной ЛВ-модели риска объединяют отдельные ЛВ-модели операциями OR, AND, NOT. Повторные события обеспечивают взаимосвязь экономических систем и процессов.

ЛВ-модель риска может быть настолько сложной, что Л- и В-функции риска не помещаются в памяти компьютера. Слагаемые в В-функции могут содержать большое число сомножителей и оценка риска теряет точность. В этом случае следует применять декомпозицию модели и свертку инициирующих событий в узлах OR и AND.

В разных сценариях для одних и тех же событий могут быть использованы разные термины и найти повторные элементы непросто. Поэтому в сценариях риска следует выделить внешние и внутренние инициирующие события;

Если подсистемы не имеют общих событий, то неуспех каждой можно рассматривать отдельно, а неуспех всей системы вычислять объединением событий Л-операциями.

В программном комплексе АРБИТР модель не должна иметь более 600 слагаемых. Для построения Л- и В-моделей риска сложных систем необходимы упрощения в их задании и свертывание инициирующих событий в узлах OR и AND.

ЛВ-модель риска и эффективности при нескольких целях. ЛВ-модель риска может быть составлена для произвольного сценария риска. Разработку сценария начинают сверху вниз: вначале определяют итоговое событие, а далее события, его вызывающие, и т. д. К каждому производному событию подходят не менее двух ребер. Из каждого узла выходит только одно ребро с Л-связью OR, AND, NOT. На самом нижнем уровне события называют инициирующими и их вероятности задают. Остальные события называют производными и их вероятности вычисляют. Если сложная система имеет два выхода, то нужно исследовать следующие сложные события:

  1. Л-функция реализации хотя бы одного критерия (Y1 ∨ Y2);
  2. Л-функция нереализации ни одного критерия (Ῡ1 ∧ Ῡ2);
  3. Л-функция реализация обоих критериев (Y1 ∧ Y2);
  4. Л-функция реализации только первого критерия (Y1 ∧ Ῡ2);
  5. Л-функция реализации только второго критерия (Ῡ1 ∧ Y2);

Если разные модели или цели имеют параметры эффективности E1, E2, ..., Em одинаковой сущности, то эффективность комплексной модели вычисляют из выражения

E = P1E1 + P2E2 + ... + PmEm . (12)

где P1, P2, ..., Pm - риски (вероятности) неуспеха отдельных моделей. Если разные модели или цели имеют параметры эффективности E1, ..., Em разной сущности, то эффективность комплексной модели следует рассматривать как вектор E = (E1, E2, ..., Em).

Построение ЛВ-моделей риска невалидности. Оценка качества систем, процессов и продукции является обязательным требованием ВТО. Для этого строятся ЛВ-модели невалидности. В ЛВ-управлении невалидностью (качеством) рассматривают аспекты:

  1. инженерно-экономический: выделение состояний, приводящих к невалидности, и инициирующих параметров, вызывающих невалидность;
  2. методологический: определение понятия невалидности;
  3. логический: определение невалидностей как вероятностей событий, Л-переменных и кратчайших путей валидности системы (КПВС) и невалидности (КПНС);
  4. вычислительный: ортогонализация Л-модели для перехода к В-модели.

Разработка сценария невалидности является творческим процессом. Специалист, глубоко знающий функционирование системы, может сформулировать полное число невалидных состояний. ЛВ-модели риска невалидности СЭС имеют повторные события. Впервые сложную ЛВ-модель с повторными событиями рассмотрел И.А. Рябинин для оценки надежности электроснабжения атомной подводной лодки.

Верхняя часть структурной модели системы есть событие невалидности системы как дизъюнкция производных событий Y1, Y2, Y3, Y4. Л-модель невалидности системы Y есть логическое объединение Л-моделей:

Y = Y1 ∨ Y2 ∨ Y3 ∨ Y4 . (13)

Л-модель невалидности преобразуют к ортогональной форме и получают В-модель, которую используют для количественного вычисления невалидности (качества) и вкладов инициирующих событий в невалидность системы Y. Параллельно строят и исследуют Л- и В-модели для Y1, Y2, Y3, Y4.


Список литературы

  1. Порецкий П. С. Решение общей задачи теории вероятности при помощи математической логики // Труды Казанского университета. Сер. 1, Т. 5. 1887. С. 83 - 116.
  2. Рябинин, И. А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем (2-е изд.) / И. А. Рябинин. 2-е изд. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2007. 276 с.
  3. Solozhentsev E. D. The Management of Socioeconomic Safety. - Cambridge Scholars Publishing, 2017, 255 p.
  4. Соложенцев Е. Д. Топ-экономика. Управление экономической безопасностью. 2-е изд. СПб. Троицкий мост. 2016. 272 с.
  5. Hovanov, N. Multicriteria Estimation of Probabilities on the Basis of Expert Non-numerical, Inexact and Incomplete Knowledge / N. Hovanov, M. Yadaeva, and K. Hovanov // European Journal of Operational Research. Vol. 195, No. 3. 2007. P. 857-863.



На главную

Лаборатория "Интегрированные системы автоматизированного проектирования"", ИПМаш РАН
E-mail: esokar@gmail.com