In English

ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ В 21 ВЕКЕ




Логико-вероятностное исчисление

Задачи по управлению социально-экономической безопасностью из-за большой вычислительной сложности практически решаются только с помощью специальных Software. Используются логико-вероятностное исчисление и логико-вероятностные модели риска. Пользователям - экономистам и менеджерам не нужно в деталях знать этот встроенный математический аппарат, но следует представлять его содержание и возможности. Поэтому ниже излагаются основные положения ЛВ-исчисления.


Некоторые сведения из алгебры логики. Для исследования и решения задач, возникающих в проблемах риска и безопасности социально-экономических систем, необходимы знания алгебры логики. Алгебра логики - это раздел математической логики, изучающий Л-операции над высказываниями. Основоположником алгебры логики является Джордж Буль.

Л-операции позволяют из нескольких высказываний образовывать новые высказывания. В алгебре логики, где интересуются лишь истинностным значением (истинностью или ложностью) высказываний, исследуется вопрос об истинности сложного высказывания в зависимости от истинностных значений составляющих его простых высказываний. В алгебре логики истинностные значения принято обозначать числами 1 (истина) и 0 (ложь). Истинностное значение высказывания, полученного при помощи Л-операций из простых высказываний, полностью определяется истинностными значениями этих исходных высказываний. Поэтому каждой Л-операции соответствует функция, принимающая значения 1 или 0, аргументы которой также принимают значения 1 или 0. Такие функции называются Л-функциями, или булевыми функциями, или функциями алгебры логики (ФАЛ). Используются следующие Л-операциям: конъюнкция (Л-умножение), дизъюнкция (Л-сложение), отрицание.

С помощью уравнений алгебры логики можно описать условия работоспособности или опасности системы. Рассмотрим подробнее основные Л-операции, незнание которых является главным тормозом в изучении ЛВ-методов. Применяется задание функций с помощью формул в языке, содержащем логические переменные x, y, z, ... (возможно с индексами) и символы некоторых конкретных функций.


Конъюнкция высказываний A /\ B читается: A и B. Вместо знака Л-умножения используют символ "точка" или между перемножаемыми высказываниями знак отсутствует: A /\ B = A . B = A & B = AB. Значение истинности Л-произведения A /\ B определяется в зависимости от значений истинности высказываний A и B:

0 /\ 0 = 0; 0 /\ 1 = 0; 1 /\ 0 = 0; 1 /\ 1 = 1.

Конъюнкция A /\ B двух высказываний представляет собой сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны составляющие его высказывания.


Дизъюнкция двух высказываний A и B обозначается А \/ В (читается A или B). Значение истинности логического сложения A \/ B определяется в зависимости от значений истинности высказываний A и B соотношениями:

0 \/ 0 = 0; 0 \/ 1 = 1; 1 \/ 0 = 1; 1 \/ 1 = 1.

Дизъюнкция двух высказываний A или B является сложным высказыванием, которое ложно тогда и только тогда, когда оба слагаемых A и B ложны.


Отрицание высказывания A обозначается A/ (читается: не A). Значение истинности высказывания A/ определяется соотношениями:

1/ = 0; 0/ = 1.

Отрицанием высказывания A является сложное высказывание A/, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно. Приведенные основные Л-операции могут выражаться друг через друга. Преобразования Л-выражений выполняются по правилам, которые рассмотрены ниже.


Правила для одной переменной:

A /\ 1 = A; A \/ 0 = A; A /\ 0 = 0; A \/ A = A;

A /\ A = A; A \/ A/ = 1; A /\ A/ = 0; A// = A;

A \/ 1 = 1; A/// = A/ .

Правила доказываются простой подстановкой вместо A единицы или нуля. Как следствие, из этих правил имеем закон тавтологии:

A /\ A /\ ... /\ A = A; A \/ A \/ ... \/ A = A.

В отличие от обычной алгебры в алгебре логики умножение переменной самой на себя или приведение подобных членов осуществляется согласно перечисленным тождествам без появления показателей степени или коэффициентов.


Правила для двух и трех переменных. Функции конъюнкции и дизъюнкции обладают свойствами, аналогичными свойствам операций умножения и сложения. Для этих функций имеет место сочетательный (ассоциативный) закон:

A /\ (B /\ C) = (A /\ B ) /\ C = A /\ B /\ C;

A \/ (B \/ C) = (A \/ B) \/ C = A \/ B \/ C,

а также переместительный (коммутативный) закон:

A /\ B = B /\ A; A \/ B = B \/ A .

В силу справедливости для Л-умножения и Л-сложения сочетательного и переместительного законов, выражения, в которые входят конъюнкции и дизъюнкции, можно писать без скобок. При этом считают связь при помощи знака /\ более тесной, чем с помощью знака \/. В алгебре логики правило записи выражений аналогично принятому в обычной алгебре (в процессе вычислений "старшие" действия выполняются раньше "младших"). Это позволяет вместо (A /\ B) \/ C писать просто A /\ B \/ C.

Рассмотрим теперь правила, выражающие связь между операциями Л-умножения и сложения, взятыми совместно. Для этих функций имеет место распределительный (дистрибутивный) закон конъюнкции относительно дизъюнкции:

A /\ ( B \/ C) = ( A /\ B ) \/ (A /\ C)

и распределительный закон дизъюнкции относительно конъюнкции

A \/ ( B /\ C) = ( A \/ B ) \/ ( A \/ C ),

который в обычной алгебре не имеет места. Действительно, a + bc ≠ ( a + b) .( a + c). Все три названных закона обладают "симметрией" в том смысле, что из любого закона для дизъюнкции (конъюнкции) можно получить путем замены знаков дизъюнкции на знаки конъюнкции, и наоборот, соответствующий закон для конъюнкции (дизъюнкции). Действительно, заменив знаки, получим

A \/ ( B /\ C ) = ( A \/ B ) /\ (A \/ C).

Следующий закон двойственности, закон инверсий, позволяет заменять отрицание конъюнкции дизъюнкцией отрицаний и отрицание дизъюнкции конъюнкцией отрицаний:

(A /\ B)/ = A/ \/ B/ ;

(A \/ B)/ = A/ /\ B/

Далее можно получить следующие выражения:

A /\ B = (A/ \/ B/)/;

A \/ B = (A/ /\ B/)/,

которые названы формулами де Моргана. Они позволяют Л-умножение выразить через отрицание Л-суммы из инверсных высказываний, а Л-сумму - через отрицание Л-умножения из инверсных высказываний.

Используя перечисленные четыре основных закона, можно установить ряд других полезных соотношений, позволяющих существенно упростить сложные Л-выражения. Выражение вида K1 \/ ... \/ Kj \/ ... \/ Ks, где Kj - элементарные конъюнкции, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Например, функция

f(x1, .... x4) = x1 x2 \/ x1 x2 x3/ \/ x1/ x3 x4

записана в ДНФ, так как все три слагаемых являются элементарными конъюнкциями. Если функция f(x1, ..., xn) записана в ДНФ, причем в каждой элементарной конъюнкции n сомножителей, то ДНФ называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), а конъюнкции - членами СДНФ. Две элементарные конъюнкции называются ортогональными, если их произведение равно нулю. Например, произведение конъюнкций x1 x2/ и x1 x2 x3 x равно нулю, так как одна из них содержит x2/, а другая - x2. ДНФ называется ортогональной дизъюнктивной нормальной формой (ОДНФ), если все ее члены попарно ортогональны. В соответствии с этим СДНФ является ОДНФ, так как все ее члены попарно ортогональны. Но СДНФ является самой неэкономной из всех ОДНФ, так как содержит максимальное количество букв. Логическая функция риска неуспеха системы из восьми Л-переменных запишется:

Y = Y1 \/ Y2 \/ Y3 \/ Y4 \/ Y5 \/ Y6 \/ Y7 \/ Y8

и читается так: неуспех происходит из-за неуспеха любой одной, любых двух, любых трех или ... всех Л-переменных.


Ортогонализация логической функции обязательна для перехода от логической функции к вероятностной функции. Только для ортогональной ДНФ вместо логических переменных Zj и Zj/ можно подставлять их вероятности pj и qj, заменяя знак дизъюнкции \/ на знак операции сложения + , а знак конъюнкции /\ на знак операции умножения "." . Для сложной структуры, описываемой логической функцией, переход от логической функции риска (неуспеха) к вероятностной функции (к В-полиному) риска непрост. Используется несколько методов. Приведем пример с методом прямой ортогонализации. Пусть имеется Л-функция

Y(Z)= z1 z3 z5 \/ z2 z4 z6 \/ z1 z3 z4 z6 z8 = K1 \/ K2 \/ K3 = K/ \/ K2 K1/ \/ K3 K1/ K2/.

Далее вместо K1, K2, K3, K1/, K2/ нужно подставить их конъюнкты и провести преобразования. Процесс раскрытия веерообразно расширяется. Для сложной Л-функции с преобразованиями может справиться только компьютер.


Логико-вероятностный анализ риска состояния СЭС. Прозрачность анализа риска является одними из главных преимуществ ЛВ-моделей риска для управления экономической безопасностью СЭС. Количественный ЛВ-анализ риска системы выполняется алгоритмически вычислениями на компьютере. Вычисляют вклады инициирующих (элементарных) событий в риск итогового события.

Структурная значимость элементов (событий) учитывает количество разных путей с i-событием, ведущих к итоговому событию. По В-функции риска определяют:

ΔPi = PY │Pi=1 - PY │Pi=0 , i = 1, 2, ..., n,

где PY - вероятность итогового события; Pi - вероятность инициирующего события, а значения вероятностей остальных ИС P1 = P2 = ... = Pn = 0,5. Вероятностная значимость i-события учитывает его место в структуре и его вероятность. Вероятностную значимость и вклады вычисляют при реальных значениях вероятностей инициирующих событий. Вклады событий на минус и плюс в вероятность итогового события определяют, придавая вероятности значения 0 и 1 в В-функции риска.

Значимость i-события:

ΔPi = PY │Pi=1 - PY │Pi=0 , i = 1, 2, ..., n.

Вклад на минус i-события:

ΔPi- = PY │Pi - PY │Pi=0 , i = 1, 2, ..., n.

Вклад на плюс i-события:

ΔPi+ = PY │Pi - PY │Pi=1 , i = 1, 2, ..., n.


Анализ риска системы с двумя выходами. В модели риска с двумя выходами следует анализировать для принятия решений следующие логические функции Y:

1) Л-функция реализации хотя бы одного критерия (Y1 \/ Y2);

2) Л-функция нереализации ни одного критерия (Y1/ /\ Y2/);

3) Л-функция реализации обоих критериев (Y1 /\ Y2);

4) Л-функция реализации только первого критерия (Y1 /\ Y2/);

5) Л-функция реализации только второго критерия (Y1/ /\ Y2).


Список литературы

  1. Е.Д. Соложенцев Сценарное логико-вероятностное управление риском в бизнесе и технике. Изд. 2-е. Издательский дом "Бизнес-пресса". 2006. 530 с.
  2. Е. Д. Соложенцев. И3-технологии для экономики.- СПб.: Наука, 2011. 386 с.



На главную

Лаборатория "Интегрированные системы автоматизированного проектирования"", ИПМаш РАН
E-mail: esokar@gmail.com